Geometrijski objekat, kasnije nazvan "Klein boca", prvi je opisao njemački matematičar Felix Klein 1882. godine. Šta on predstavlja? Ovaj objekt (ili bolje rečeno, geometrijska ili topološka površina) jednostavno ne može postojati u našem trodimenzionalnom svijetu. Svi modeli koji se prodaju u suvenirnicama imaju izgled koji daje samo nejasnu predstavu o tome šta je Klein boca.
Za veću jasnoću, opisano je na sljedeći način: zamislite bocu sa vrlo dugim vratom. Zatim mentalno napravite dvije rupe u njemu: jednu u zidu, a drugu na dnu. Zatim savijte vrat, umetnite ga u rupu na zidu i izvucite kroz rupu na dnu. Rezultirajući objekt će biti projekcija četverodimenzionalnog svemirskog objekta, koji je prava Kleinova boca, u našem trodimenzionalnom prostoru.
Opis Klein boce jezikom matematičkih termina iliformule neće ništa reći laiku. Hoće li takva definicija zadovoljiti mnoge ljude: Kleinova boca je neorijentibilna mnogostrukost (ili površina) koja ima niz svojstava. Nakon riječi "svojstva" možete napraviti dugu seriju koja se sastoji od trigonometrijskih funkcija, brojeva, te grčkih i latiničnih slova. Ali ovo može samo zbuniti nespremnu osobu koja već ima predstavu o tome kakva je projekcija boce u trodimenzionalnom prostoru.
Zanimljivost: naziv “Klein boca” je ovom objektu dat, najvjerovatnije, zbog greške ili tipografske greške prevodioca. Činjenica je da je Klein u svojoj definiciji koristio riječ Fläche, odnosno "površina" na njemačkom. Prilikom "putovanja" iz Njemačke u druge zemlje, ova riječ je pretvorena u sličan pravopis Flasche (boca). Tada se pojam vratio u zemlju porijekla u novom, izmijenjenom obliku, i tako ostao zauvijek.
Za mnoge kulturne ličnosti (prvenstveno pisce naučne fantastike) sam izraz "Klein boca" pokazao se privlačnim. Njegova upotreba kao atributa, a ponekad i glavnog lika, postala je znak "intelektualne" fikcije. Takva je, na primjer, priča "Posljednji iluzionista", koju je napisao Bruce Eliot. U priči, pomoćnik mađioničara se obračunava sa svojim pokroviteljem, koji je izvodio trikove sa četvorodimenzionalnom Klein bocom. Iluzionista koji se popeo u bocu ostaje napola uronjen u nju. Prema riječima autora, ova boca se ne može razbiti bez oštećenja sadržaja. Da li je to zaista tako - ne mogu rećinijedan. U najmanju ruku, matematičari, koji bi možda mogli odgovoriti na ovo pitanje, nisu bili zbunjeni time, za nauku je to nebitno.
Ponekad se posebno napravljene Klein boce pune vinom u promotivne svrhe. Istina, tehnički je teško napraviti takvu staklenu bocu, za to je potrebna staklena puhalica ekstra klase. Stoga ima prilično visoku cijenu i rijetko se koristi. A razvoj tehnologije i proizvodnja takvih boca na potoku nema smisla, jer će za to biti potrebno razraditi način punjenja boce tekućinom (i ovdje postoje poteškoće). A osjećaj neobičnosti i novosti brzo će zamijeniti neugodnost prelivanja vina iz takve boce u čaše.
